Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

1. Общая постановка задачи.
Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравненийНайти действительные корни уравнения Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, где Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений- алгебраическая или трансцендентная функция.

Точные методы решения уравнений подходят только к узкому классу уравнений (квадратные, биквадратные, некоторые тригонометрические, показательные, логарифмические).

В общем случае решение данного уравнения находится приближённо в следующей последовательности:

1) отделение (локализация) корня;

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений2) приближённое вычисление корня до заданной точности.

2. Отделение корня. Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений
Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравненийОтделение действительного корня уравнения Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений- это нахождение отрезка Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, в котором лежит только один корень данного уравнения. Такой отрезок называется отрезком изоляции (локализации) корня.

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений
Наиболее удобным и наглядным является графический метод отделения корней:

1) строится график функции Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, и определяются абсциссы точек пересечения этого графика с осью Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, которые и являются корнями уравнения Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений;

2) если Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений- сложная функция, то её надо представить в виде Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений так, чтобы легко строились графики функций Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений и Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Так как Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, то Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Тогда абсциссы точек пересечения этих графиков и будут корнями уравнения Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Пример.
Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравненийГрафически отделить корень уравнения Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Решение.


Представим левую часть уравнения в виде Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Получим: Построим графики функций Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений и Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравненийАбсцисса точки пересечения графиков находится на отрезке Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, значит корень уравнения Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

3. Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений Уточнение корня.

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений Если искомый корень уравнения Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений отделён, т.е. определён отрезок Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, на котором существует только один действительный корень уравнения, то далее необходимо найти приближённое значение корня с заданной точностью.

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравненийТакая задача называется задачей уточнения корня.

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравненийУточнение корня можно производить различными методами:

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений1) метод половинного деления (бисекции);

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений2) метод итераций;

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений3) метод хорд (секущих);

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений4) метод касательных (Ньютона);

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений5) комбинированные методы.

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений4. Метод половинного деления (бисекции).

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравненийОтрезок изоляции корня можно уменьшить путём деления его пополам.

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравненийТакой метод можно применять, если функция Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений непрерывна на отрезке Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений и на его концах принимает значения разных знаков, т.е. выполняется условие Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений (1).

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравненийРазделим отрезок Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений пополам точкой Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, которая будет приближённым значением корня Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравненийДля уменьшения погрешности приближения корня уточняют отрезок изоляции корня. В этом случае продолжают делить отрезки, содержащие корень, пополам.

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравненийИз отрезков Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений и Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений выбирают тот, для которого выполняется неравенство (1).

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравненийВ нашем случае это отрезок Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, где Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравненийДалее повторяем операцию деления отрезка пополам, т.е. находим Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений и так далее до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Т.е. до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответе десятичные знаки или до выполнения неравенства Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравненийДостоинство метода: простота (достаточно выполнения неравенства (1)).

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравненийНедостаток метода: медленная сходимость результата к заданной точности.

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравненийПример.
Решить уравнение Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом половинного деления с точностью до 0,001.

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравненийРешение.


Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравненийИзвестен отрезок изоляции корня Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений и заданная точность Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений. По уравнению составим функцию Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Найдём значения функции на концах отрезка: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Проверим выполнение неравенства (1): Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений- условие выполняется, значит можно применить метод половинного деления.

Найдём середину отрезка Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений и вычислим значение функции в полученной точке:

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Среди значений Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений и Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений выберем два значения разных знаков, но близких друг к другу. Это Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений и Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Следовательно, из отрезков Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений и Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений выбираем тот, на концах которого значения функции разных знаков. В нашем случае это отрезок Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений и опять находим середину отрезка и вычисляем значение функции в этой точке:

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений- заданная точность результата не достигнута, продолжим вычисления.

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений - заданная точность результата достигнута, значит, нашли приближённое значение корня Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Ответ: корень уравнения Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений с точностью до 0,001.

5. Метод хорд (секущих).

Этот метод применяется при решении уравнений вида Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, если корень уравнения отделён, т.е. Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений и выполняются условия:

1) Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений(функция Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений принимает значения разных знаков на концах отрезка Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений);

2) производная Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений сохраняет знак на отрезке Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений (функция Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений либо возрастает, либо убывает на отрезке Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений).

Первое приближение корня находится по формуле: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Для следующего приближения из отрезков Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений и Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений выбирается тот, на концах которого функция Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений имеет значения разных знаков.

Тогда второе приближение вычисляется по формуле:

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, если Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений или Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, если Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Вычисления продолжаются до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые нужно оставить в ответе.

6. Метод касательных (Ньютона).

Этот метод применяется, если уравнение Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений имеет корень Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, и выполняются условия:

1) Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений (функция принимает значения разных знаков на концах отрезка Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений);

2) производные Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений и Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений сохраняют знак на отрезке Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений (т.е. функция Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений либо возрастает, либо убывает на отрезке Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, сохраняя при этом направление выпуклости).

На отрезке Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений выбирается такое число Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, при котором Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений имеет тот же знак, что и Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, т. е. выполняется условие Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Таким образом, выбирается точка с абсциссой Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, в которой касательная к кривой Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений на отрезке Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений пересекает ось Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений. За точку Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений сначала удобно выбирать один из концов отрезка.

Первое приближение корня определяется по формуле: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Второе приближение корня определяется по формуле: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Вычисления ведутся до совпадения десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или при заданной точности Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений- до выполнения неравенства Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Достоинства метода: простота, быстрота сходимости.

Недостатки метода: вычисление производной и трудность выбора начального положения.

7. Комбинированный метод хорд и касательных.

Если выполняются условия:

1) Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений,

2) Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений и Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений сохраняют знак на отрезке Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений,

то приближения корня Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений уравнения Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений по методу хорд и по методу касательных подходят к значению этого корня с противоположных сторон. Поэтому для быстроты нахождения корня удобно применять оба метода одновременно. Т.к. один метод даёт значение корня с недостатком, а другой – с избытком, то достаточно легко получить заданную степень точности корня.

Схема решения уравнения методом хорд и касательных

1. Вычислить значения функции Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений и Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

2. Проверить выполнение условия Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Если условие не выполняется, то неправильно выбран отрезок Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

3. Найти производные Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений и Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

4. Проверить постоянство знака производных на отрезке Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Если нет постоянства знака, то неверно выбран отрезок Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

5. Для метода касательных выбирается за Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений тот из концов отрезка Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, в котором выполняется условие Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, т.е. Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений и Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений одного знака.

6. Приближения корней находятся:

а) по методу касательных: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений,

б) по методу хорд: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

7. Вычисляется первое приближение корня: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

8. Проверяется выполнение условия: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, где Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений- заданная точность.

Если условие не выполняется, то нужно продолжить применение метода по схеме 1-8.

В этом случае отрезок изоляции корня сужается и имеет вид Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Приближённые значения корня находятся по формулам:

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений и Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет найдено такое значение Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, при котором Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений и Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений совпадут с точностью Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Пример. Решить уравнение Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд и касательных с точностью 0,001, если известно, что корень уравнения Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Решение.

1. Вычислим значения функции Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений на концах отрезка: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

2. Проверим выполнение условия: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений - условие выполняется.

3. Найдём производные: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений и Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравненийПриближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

4. На отрезке Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений производные Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений и Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, т.е. сохраняют знак, следовательно, условие выполняется.

5. Выберем значение Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений для метода касательных. Т.к. Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений и Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, то Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

6. Найдём приближения корня:

а) по методу касательных: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

б) по методу хорд: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

7. Найдём первое приближение корня: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

8. Проверим выполнение условия: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений - условие не выполняется, значит нужно продолжить вычисления.

9. Отрезок изоляции корня имеет вид: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

10. Продолжим уточнение корня по схеме. Для этого найдём значения функции на концах суженного отрезка:

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

11. Проверим условие: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений - выполняется, значит можно продолжить применение метода.Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

12. Так как Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений и Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений на отрезкеПриближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, то для метода касательных: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

13. Вычислим значение производной: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

14. Найдём новые значения концов отрезка изоляции:

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

15. Найдём второе приближение корня: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

16. Проверим выполнение условия: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений - неравенство неверное, значит необходимо продолжить вычисления.

17. Отрезок изоляции корня имеет вид: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

18. Вычислим значения функции:

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

19. Условие Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений - выполняется.

20. Так как Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений и Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений на Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений, то для метода касательных Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

21. Вычислим производную: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

22. Вычислим: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений,

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

23. Найдём третье приближение корня: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

24. Проверим выполнение неравенства: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений - условие выполняется, значит, цель достигнута.

25. Следовательно, Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений или Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений - приближённое значение корня с точностью до 0,001.

Ответ: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

9. Задания для расчётных работ.

Решить уравнение методами:

а) бисекции,

б) хорд и касательных.

Вариант

Вид алгебраического уравнения

Корень, который необходимо вычислить

1

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

2

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

3

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

4

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

5

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

6

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

7

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

8

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

9

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

положительный

10

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

11

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

положительный

12

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

13

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

больший отрицательный

14

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

15

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

16

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

17

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

18

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

19

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

20

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

21

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

22

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

меньший положительный

23

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

24

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

меньший положительный

25

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

26

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

27

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

28

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

29

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

30

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

31

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

меньший положительный

32

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

33

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

больший отрицательный

34

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

35

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

36

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

37

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

меньший положительный

38

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

39

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

40

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

единственный

Оставьте свой комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

9 + 1 =