Последняя цифра степени

МОУ «Шербакульская средняя общеобразовательная школа №1»

Научное сообщество учащихся «Поиск»

Тема: « Последняя цифра степени.»

Выполнила: ученица 7 «б» класса

Терентьева Валентина

Руководитель: Пушило Т.Л.

р.п. Шербакуль

2010 – 2011 уч. год

Содержание:

· Введение.

· Цели работы.

· Последняя цифра степени.

· Закономерности возведения в степень

· Две последних цифры степени.

· Задачи.

· Заключение.

· Использованная литература .

Введение.

Однажды, листая страницы книги «Тысяча проблемных задач по математике», я увидела с первого взгляда очень трудную задачу, точнее сказать пример надо было найти последнюю цифру суммы

11989
+ 21989
+ 31989
+ 41989
+ 51989
+…+ 19891989
.

Потом я подумала, а ведь должен же быть, какой-нибудь рациональный способ вычисления и тут я принялась считать…

Гипотеза:

Можно ли сказать какой будет последняя цифра у любой степени?

Цели работы:

· Узнать, можно ли построить таблицу последних цифр различных степеней.

· Найти закономерность в них.

· Используя таблицу практиковаться на более легких задачах и решить вышеупомянутый пример и если получится более сложные.

Последняя цифра степени.

Приведем небольшое исследование: выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа 2n
, где n
– натуральное число, с изменением показателя n
. Для этого рассмотрим таблицу:

21
= 2

25
= 32

29
= 512

22
= 4

26
= 64

210
= 1024

23
= 8

27
= 128

211
= 2048

24
= 16

28
= 256

212
= 4096

Мы видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2n
для любого показателя n
.

В самом деле, возьмем число 2100
. Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени 24
, 28
, 212
, показатели которых кратны четырем. Значит, число 2100
, как и эти степени, оканчивается цифрой 6.

Возьмем к примеру, 222
, если проверить, просто посчитав, то получится 4194304 – последняя цифра 4.

Теперь попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2 т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.

А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось составить таблицу для всех чисел от 1 до 10, а далее будет повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5.

Закономерности возведения в степень:

    • Запись числа, являющегося полным квадратом, может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9.
    • Если запись числа оканчивается цифрой 0, 1, 5 или 6,то возведение в любую степень не изменит последние цифры.
    • При возведении любого числа в пятую степень его последняя цифра не изменится.
    • Если число оканчивается цифрой 4 (или 9), то при возведении в нечетную степень последняя цифра не изменяется, а при возведении в четную степень изменится на 6 (или 1 соответственно).
    • Если число оканчивается цифрой 2, 3, 7 или 8, то при возведении в степень возможны четыре различных цифры.

Две последних цифры степени.

Последняя цифра степениПоследняя цифра степениПоследняя цифра степени Мы теперь знаем, что последняя цифра рано или поздно будет повторяться. Но как же обстоит дело с 2-мя последними цифрами? Я осмелюсь предположить, что не только 2, но и 3 и более последних цифр будут повторяться. Что ж проверим это, так же я заметила, что периоды из прошлой таблицы просто увеличились в 5 раз, кроме чисел 5 и 10, а про число 1 я писать не стала, так как результат всегда будет 1.

Последняя цифра степениСтепень

02

03

Последняя цифра степени04

Последняя цифра степени05

06

07

Последняя цифра степени08

Последняя цифра степени09

Последняя цифра степени10

Х2

04

09

16

25

36

49

64

81

00

Х3

08

27

64

25

16

43

12

29

00

Х4

16

81

56

25

96

01

96

61

Х5

32

43

24

76

07

68

49

Х6

64

29

96

56

44

41

Х7

28

87

84

36

52

69

Х8

56

61

36

16

21

Х9

12

83

44

28

89

Х10

24

49

76

24

01

Х11

48

47

04

92

09

Х12

96

41

36

Х13

92

23

88

Х14

84

69

04

Х15

68

07

32

Х16

36

21

56

Х17

72

63

48

Х18

44

89

84

Х20

88

67

72

Х21

76

01

76

Х22

52

03

08

Х23

04

Повтор

20

20

10

1

5

4

20

10

1

(Красным кругом выделен период)

Заметим, что у некоторых чисел, например 1-е не входит в период, так как, например, у числа 2, после последнего числа 52, будет 04, а не 02, поэтому оно само не входит в этот период, следовательно, перед тем как вычислять последние 2 цифры надо будет вычесть из показателя степени 1.

Последняя цифра степениПоследняя цифра степениПоследняя цифра степени К сожалению, с 2-мя последними цифрами не получится как с 1-й, и последние 2 цифры 3 не будут одинаковы с 2-мя последними цифрами 13, и таблицу для остальных надо составлять отдельно.

Степень

11

Последняя цифра степени12

Последняя цифра степениПоследняя цифра степени13

Последняя цифра степени14

15

16

Последняя цифра степени17

Последняя цифра степени18

19

Последняя цифра степени20

Х2

21

44

69

96

25

56

89

24

61

00

Х3

31

28

97

44

75

96

13

32

59

00

Х4

41

36

61

16

25

36

21

76

21

Х5

51

32

93

24

76

57

68

99

Х6

61

84

09

36

16

69

24

81

Х7

71

08

17

04

73

39

Х8

81

96

21

56

41

41

Х9

91

52

73

84

97

79

Х10

01

24

49

76

49

01

Х11

11

88

37

64

33

19

Х12

56

81

96

61

Х13

72

53

37

Х14

64

89

29

Х15

68

57

93

Х16

16

41

81

Х17

92

33

77

Х18

04

29

09

Х20

48

77

53

Х21

76

01

01

Х22

12

13

17

Х23

Повтор

10

20

20

10

2

5

20

4

10

1

По этим таблицам, видно, что числа отличаются, а совпадает только последняя цифра.

Степень

Последняя цифра степени21

Последняя цифра степени22

Последняя цифра степениПоследняя цифра степени23

24

Последняя цифра степени25

Последняя цифра степени26

Последняя цифра степени27

Последняя цифра степени28

Последняя цифра степени29

Последняя цифра степени30

Х2

41

84

29

76

25

76

29

84

41

00

Х3

61

48

67

24

25

76

83

52

89

00

Х4

81

56

41

41

56

81

Х5

01

32

43

07

68

49

Х6

21

04

89

89

04

21

Х7

88

47

03

12

09

Х8

36

81

81

36

61

Х9

92

63

87

08

69

Х10

24

49

49

24

01

Х11

28

27

23

72

29

Х12

16

21

21

16

Х13

52

83

67

48

Х14

44

09

09

44

Х15

68

07

43

32

Х16

96

61

61

96

Х17

12

03

47

88

Х18

64

69

69

64

Х20

08

87

63

92

Х21

76

01

01

76

Х22

72

23

27

28

Х23

84

Повтор

5

20

20

2

1

1

20

20

10

1

Степень

Последняя цифра степени31

Последняя цифра степени32

Последняя цифра степениПоследняя цифра степени33

34

Последняя цифра степени35

Последняя цифра степени36

Последняя цифра степени37

Последняя цифра степени38

Последняя цифра степени39

Последняя цифра степени40

Х2

61

24

89

56

25

96

69

44

21

00

Х3

91

68

37

04

75

56

53

72

19

00

Х4

21

76

21

36

25

16

61

36

41

Х5

51

32

93

24

76

57

68

99

Х6

81

69

16

36

09

84

41

Х7

11

77

44

96

33

92

99

Х8

41

41

96

56

21

96

61

Х9

71

53

64

77

48

79

Х10

01

49

76

49

24

81

Х11

31

17

84

13

12

59

Х12

61

56

81

56

01

Х13

13

97

28

39

Х14

29

89

64

Х15

57

93

32

Х16

81

41

16

Х17

73

17

08

Х18

09

29

04

Х20

97

73

52

Х21

01

01

76

Х22

33

37

88

Х23

44

Повтор

10

4

20

10

2

5

20

20

10

1

Степень

Последняя цифра степени41

Последняя цифра степениПоследняя цифра степени42

43

Последняя цифра степениПоследняя цифра степени44

45

Последняя цифра степени46

Последняя цифра степени47

Последняя цифра степени48

Последняя цифра степени49

Последняя цифра степени50

Х2

81

64

49

36

25

16

09

04

01

00

Х3

21

88

07

84

25

36

23

92

49

00

Х4

61

96

01

96

56

81

16

Х5

01

32

43

24

76

07

68

Х6

41

44

56

96

29

64

Х7

48

64

16

63

72

Х8

16

16

61

56

Х9

72

04

67

88

Х10

24

76

49

24

Х11

08

44

03

52

Х12

36

41

96

Х13

12

27

08

Х14

04

69

84

Х15

68

43

32

Х16

56

21

36

Х17

52

87

28

Х18

84

89

44

Х20

28

83

12

Х21

76

01

76

Х22

92

47

48

Х23

64

Повтор

5

20

4

10

1

5

20

20

2

1

Последняя цифра степениСтепень

Последняя цифра степени51

52

Последняя цифра степениПоследняя цифра степени53

54

Последняя цифра степениПоследняя цифра степени55

56

Последняя цифра степени57

Последняя цифра степени58

Последняя цифра степени59

Последняя цифра степени60

Х2

01

04

09

16

25

36

49

64

81

00

Х3

51

08

77

64

75

16

93

12

79

00

Х4

16

81

56

25

96

01

96

61

Х5

32

93

24

76

57

68

99

Х6

64

29

96

56

44

41

Х7

28

37

84

52

19

Х8

56

61

36

16

21

Х9

12

33

44

28

39

Х10

24

49

76

24

01

Х11

48

97

04

92

59

Х12

96

41

16

36

Х13

92

73

88

Х14

84

69

04

Х15

68

57

32

Х16

36

21

56

Х17

72

13

48

Х18

44

89

84

Х20

88

17

72

Х21

76

01

76

Х22

52

53

08

Х23

64

Повтор

2

20

20

10

2

5

20

20

10

1

Степень

Последняя цифра степени61

Последняя цифра степени62

Последняя цифра степени63

Последняя цифра степени64

Последняя цифра степени65

Последняя цифра степениПоследняя цифра степени66

67

Последняя цифра степени68

Последняя цифра степени69

Последняя цифра степени70

Х2

21

44

69

96

25

56

89

24

61

00

Х3

81

28

47

44

25

96

63

32

09

00

Х4

41

36

61

16

36

21

76

21

Х5

01

32

43

24

76

07

68

49

Х6

61

84

09

36

16

69

81

Х7

08

67

04

56

23

89

Х8

96

21

56

41

41

Х9

52

23

84

47

29

Х10

24

49

76

49

01

Х11

88

87

64

83

69

Х12

56

81

61

Х13

72

03

87

Х14

64

89

29

Х15

68

07

43

Х16

16

41

81

Х17

92

83

27

Х18

04

29

09

Х20

48

27

03

Х21

76

01

01

Х22

12

63

67

Х23

44

Повтор

5

20

20

10

1

5

20

4

10

1

Степень

Последняя цифра степени71

Последняя цифра степени72

Последняя цифра степени73

Последняя цифра степени74

Последняя цифра степени75

Последняя цифра степениПоследняя цифра степени76

77

Последняя цифра степени78

Последняя цифра степени79

Последняя цифра степени80

Х2

41

84

29

76

25

76

29

84

41

00

Х3

11

48

17

24

25

76

33

52

39

00

Х4

81

56

41

76

41

56

81

Х5

51

32

93

57

68

99

Х6

21

04

89

89

04

21

Х7

91

88

97

53

12

59

Х8

61

36

81

81

36

61

Х9

31

92

13

37

08

19

Х10

01

24

49

49

24

01

Х11

71

28

77

73

72

79

Х12

16

21

21

16

Х13

52

33

17

48

Х14

44

09

09

44

Х15

68

57

93

32

Х16

96

61

61

96

Х17

12

53

97

88

Х18

64

69

69

64

Х20

08

37

13

92

Х21

76

01

01

76

Х22

72

73

77

28

Х23

84

Повтор

5

20

20

2

2

1

20

20

10

1

Степень

Последняя цифра степени81

Последняя цифра степени82

Последняя цифра степени83

Последняя цифра степени84

Последняя цифра степени85

Последняя цифра степениПоследняя цифра степени86

Последняя цифра степени87

88

Последняя цифра степени89

Последняя цифра степени90

Х2

61

24

89

56

25

96

69

44

21

00

Х3

41

68

87

04

25

56

03

72

69

00

Х4

21

76

21

36

16

61

36

41

Х5

01

32

43

24

76

07

68

49

Х6

81

24

69

16

36

09

84

61

Х7

27

44

96

83

92

29

Х8

41

96

21

96

81

Х9

03

64

27

48

09

Х10

49

76

49

24

01

Х11

67

84

63

12

89

Х12

61

81

56

Х13

63

47

28

Х14

29

89

64

Х15

07

43

32

Х16

81

41

16

Х17

23

67

08

Х18

09

29

04

Х20

47

23

52

Х21

01

01

76

Х22

83

87

88

Х23

Повтор

5

4

20

10

1

5

20

20

10

1

Степень

Последняя цифра степени91

Последняя цифра степени92

Последняя цифра степени93

Последняя цифра степени94

Последняя цифра степени95

Последняя цифра степениПоследняя цифра степени96

Последняя цифра степени97

98

Последняя цифра степени99

Последняя цифра степени 100

Х2

81

64

49

36

25

16

09

04

01

00

Х3

71

88

57

84

75

36

73

92

99

00

Х4

61

96

01

96

25

56

81

16

Х5

51

32

93

24

76

57

68

Х6

41

44

56

96

29

64

Х7

31

48

64

13

72

Х8

21

16

16

61

56

Х9

11

72

04

17

88

Х10

01

24

76

49

24

Х11

91

08

44

53

52

Х12

36

36

41

96

Х13

12

77

08

Х14

04

69

84

Х15

68

93

32

Х16

56

21

36

Х17

52

37

28

Х18

84

89

44

Х20

28

33

12

Х21

76

01

76

Х22

92

97

48

Х23

04

Повтор

10

20

4

10

2

5

20

20

10

1

Думаю, что таблицу с 3-мя последними цифрами составлять нет смысла, потому что я хочу найти рациональные способы, где не надо много вычислять, а в этой таблице, у чисел, которых раньше был период 20 чисел будет по 100, поэтому я буду составлять их только по необходимости у таких чисел как 4, 5, 6, 7 и 9.

Задачи.

Задача 1.

Найдите 2 последние цифры числа 81989
.

В таблице 2-х последних цифр, у числа 8 период 20, из показателя степени отнимаем 19800, именно столько раз, период пройдет полностью и остановиться на 1989 – 1980 = 9, а на девятом числе, а 9-ое число это 28.

Ответ: последние 2 цифры числа 81989
– 28.

Задача 2.

На контрольной работе по перекрашиванию юный хамелеон перекрашивается по очереди из красного -> в желтый -> зелёный -> синий -> фиолетовый -> красный -> жёлтый -> зелёный и т.д. перекрасился он 2010 раз и начав с красного он в конце стал синим, но известно что он допустил ошибку, покраснел в тот момент, когда должен был приобрести другой цвет. Какого он был цвета перед этим покраснением?

Заметим, что здесь период повторения цветов равен 5. Красный цвет будет встречаться на числах оканчивающихся на 0 и 5. Значит и должен он был закончить снова на красном. Поэтому чтобы найти ошибку перейдём сразу к 2005 перекрашиванию. Теперь просто будем считать по очереди меняя цвета до 2010-го. Сразу же смотрим что он сделал ошибку допустим после жёлтого, тогда получается 2005-красный, 2006 – жёлтый 2007- снова красный (это его ошибка), 2008 - жёлтый, 2009 -зелёный, 2010 – синий.

Ответ: перед ошибочным покраснением хамелеон был жёлтым.

Задача 3.

Сейчас на часах 10:00. Какое время они будут показывать через 102938475 часов?

У часов период повторения равен 24, значит число 102938475 разделить на 24 = 4289103,12… 102938475 - (4289103 * 24) = 3. Значит время которое часы будут показывать через 102938475 часов равно 10+3 = 13 часов.

Ответ: через 102938475 часы будут показывать 13:00.

Заключение.

Я поняла как можно пользоваться этим признаком, составила таблицы, с помощью которых можно определять не только 1-ну но и 2 последние цифры и научилась решать подобные задачи. Думаю что я добилась того что хотела.

Оставьте свой комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

+ 47 = 55